「参る」は「行く」をへりくだって言う謙譲語です。

自分と敬意を表すべき相手が同じことをするため表現が難しいところですが、「一緒に参りましょう」では相手まで下げてしまいます。

そもそも敬意を払うべき相手に対して「一緒に行こう」という呼びかけ自体が失礼に当たる印象があるため「お供致します」「私も参ります」などの言い換えが無難です。